Logicyzm

Poszukiwanie podstaw matematyki, czyli uzasadnienia jej obiektywności, na przełomie XIX i XX wieku było częścią ruchu skierowanego przeciw psychologizmowi, o którym była mowa wcześniej.

Gottlob Frege (1848-1925) i sir Bertrand Arthur William Russell (1872-1970) niezależnie od siebie poszukiwali ugruntowania matematyki jako nauki o rzeczywiście istniejących przedmiotach abstrakcyjnych. W celu takiego platońskiego ugruntowania matematyki wystarczy wykazać, że istnieją (rzeczywiście) liczby naturalne, ponieważ z liczb naturalnych można skonstruować inne przedmioty matematyczne: kolejno liczby całkowite, wymierne, rzeczywiste, zespolone itd., figury geometryczne można utożsamić z ich równaniami w układzie współrzędnych itd.

Uwaga: postulowanie liczb za pomocą aksjomatów, jak zaproponował Giuseppe Peano (1889), nie wystarcza (obecnie pierwszeństwo w sformułowaniu aksjomatów arytmetyki przypisuje się Dedekindowi, ale to Peano zainspirował Russella). Postulaty nie gwarantują tożsamości liczbom: „liczby”, o których mowa w aksjomatach Peana, są dowolnymi przedmiotami, które spełniają aksjomaty, niekoniecznie liczbami naturalnymi. Inaczej: „liczby” Peana nie spełniają Parmenidesa kryterium istnienia: istnieć = zachowywać tożsamość.

Aksjomaty Peana:
http://www.math.edu.pl/liczby-naturalne
http://mathworld.wolfram.com/PeanosAxioms.html

Kierunek reprezentowany przez Fregego i Russella nazywa się logicyzmem, ponieważ według nich matematyka daje się zredukować do arytmetyki, a arytmetyka do logiki.

Frege w Begriffsschrift (1879) zapoczątkował paradygmat współczesnej logiki (przedtem panowała sylogistyka Arystotelesa). Zastąpił on tradycyjne kategorie gramatyczne dwiema: nazwy i predykatu. Nazwy oznaczają przedmioty, predykaty zaś pojęcia – czyli powszechniki: własności i relacje. Pojęcia są funkcjami, które przedmiotom (lub ciągom przedmiotów) przypisują jeden z dwóch przedmiotów: Prawdę i Fałsz. Na przykład pojęcie „…jest łysy” jest funkcją, która przypisuje Adamowi Prawdę (o ile Adam jest łysy), a Barbarze Fałsz (o ile Barbara nie jest łysa, zaś pojęcie „…jest ojcem…” jest funkcją, która parze złożonej z Adama i Barbary przypisuje Prawdę (o ile Adam jest ojcem Barbary) lub Fałsz (w przeciwnym przypadku). Pojęcia zatem mogą być jednoargumentowe (jak „…jest łysy”), dwuargumentowe (jak „…jest ojcem…”) itd. o dowolnej liczbie argumentów. Pojęcia w sensie Fregego są powszechnikami, podobnie jak platońskie idee. Idee jednak uczestniczą w indywiduach, podczas gdy pojęcia mogą być funkcjami nie tylko od indywiduów, ale również od pojęć: pojęcia drugiego rzędu są funkcjami przypisującymi Prawdę lub Fałsz pojęciom pierwszego rzędu, analogicznie istnieją pojęcia wyższych rzędów. Pojęciem drugiego rzędu jest na przykład „…jest barwą” (przypisuje Prawdę czerwieni, a Fałsz słodyczy, gdzie „…jest czerwony”, „…jest słodki” są pojęciami pierwszego rzędu, funkcjami, które przypisują Prawdę lub Fałsz przedmiotom).

Rozwiązanie Fregego polega na rozróżnieniu Sinn, sensu nazwy, oraz jej Bedeutung, „znaczenia”, czyli przedmiotu. Sensem nazwy jest sposób, w jaki jest dany jej przedmiot. „Gwiazda Poranna” i „Gwiazda Wieczorna” mają ten sam przedmiot (niem. Bedeutung, ang. reference), ale różnią się sensem. Dlatego rozważane zdanie o identyczności nie jest analityczne. Przy okazji Frege wyjaśnia, dlaczego nazwy puste (bez przedmiotu), na przykład „Smok Wawelski” i „Szewczyk Skuba” nie są równoznaczne (według Milla mają one taką samą denotację: zbiór pusty): różnią się sensem. 

Rozróżnienie Fregego, choć należy do filozofii języka, ma ścisły związek z jego filozofią matematyki. Pozwala ono wyjaśnić, dlaczego formalnie podobne wyrażenia, na przykład ½ + ¼ + ⅛ + … i ½ + ⅓ + ¼ + …, raz oznaczają jakiś przedmiot, jak pierwsze (liczbę 1), a kiedy indziej nie, jak drugie. Wyjaśnienie brzmi: wyrażenia mają podobny sens, ale tylko pierwsze ma przedmiot, a drugie nie.

Prócz kategorii nazw, Frege wyróżnił predykaty, tworząc w ten sposób podstawy pojęciowe języków nowoczesnych rachunków logicznych (przed Fregem logika sprowadzała się do nieco zmodernizowanej sylogistyki Arystotelesa). Bedeutung predykatu jest nie przedmiot, lecz pojęcie (pojęcie pojęcia przypomina platońskie pojęcie idei). Pojęcie jest funkcją, która przedmiotom (lub - w przypadku relacji - ciągom przedmiotów) przypisuje wartość Prawdy lub Fałszu. Na przykład pojęcie "...jest łysy" przypisuje Prawdę wszystkim łysym, a pojęcie "...jest ojcem..." przypisuje Prawdę wszystkim parom, których pierwszy człon jest ojcem drugiego.

Pewien kłopot w teorii Fregego sprawiają zdania podrzędnie złożone. Jeżeli w prawdziwym zdaniu „Królowa Wiktoria wie, że Lewis Caroll jest autorem Alicji w Krainie Czarów” zastąpić „Lewis Caroll” nazwą „Charles Dodgson”, która ma to samo Bedeutung, otrzymamy zdanie fałszywe. (U Fregego oczywiście były inne przykłady). Skąd zmiana przedmiotu zdania, na przekór zasadzie składalności? Rozwiązanie tej zagadki jest następujące: w zdaniu podrzędnie złożonym przedmiotem zdania podrzędnego nie jest Prawda, ani Fałsz, lecz myśl, która byłaby sensem tego zdania, gdyby występowało ono nie w złożeniu, lecz samodzielnie. Czyli zdania „Lewis Caroll jest autorem Alicji w Krainie Czarów” i „Charles Dodgson jest autorem Alicji w Krainie Czarów”, gdy występują samodzielnie, mają ten sam przedmiot (Prawdę), a różnią się sensem. Natomiast gdy występują jako zdanie podrzędne w złożeniu „Królowa Wiktoria wie, że …”, różnią się przedmiotem, którym jest myśl, a nie Prawda lub Fałsz.

 Tekst Über Sinn und Bedeutung
http://sammelpunkt.philo.at:8080/archive/00000419/01/24-1-94.TXT
Polski przekład w: Frege, Pisma semantyczne

Frege zastosował zmodyfikowane kryterium istnienia Parmenidesa do przedmiotów abstrakcyjnych: te przedmioty istnieją, dla których można podać kryterium tożsamości. Ta zasada egzemplifikuje ogólniejszą zasadę filozofii Fregego, którą Michel Dummett w latach 1950’ podniósł do rangi naczelnej zasady filozofii analitycznej. Mówi ona, że wszelkie problemy filozoficzne należy sprowadzać do problemów związanych ze znaczeniem wyrażeń językowych. Zatem pytanie o istnienie liczb naturalnych sprowadza się do pytania o to, co to znaczy, na przykład, że liczba, talerzy, jest taka sama, jak liczba gości przy stole. W Grundgesetze der Arithmetik (1893) Frege definiuje liczbę naturalną za pomocą pojęcia równoliczności pojęć. Pojęcia są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja jedno-jednoznaczna przypisująca przedmiotom podpadającym pod jedno pojęcie (czyli przedmiotom, któremu to pojęcie przypisuje Prawdę) przedmioty podpadające pod drugie pojęcie (współcześnie, za Georgiem Cantorem, 1874, pojęcie równoliczności definiuje się dla zbiorów, zaś zbiór przedmiotów „podpadających pod dane pojęcie”, czyli desygnatów tego pojęcia, nazywa się zakresem pojęcia). Na przykład funkcja przypisująca talerzom gości przy stole jest jedno-jednoznaczna, gdy każdy talerz jest przypisany jednemu i tylko jednemu gościowi, a każdy gość ma jeden i tylko jeden talerz. Wtedy liczba talerzy i gości jest jednakowa. Zatem liczba przedmiotów podpadających pod jedno pojęcie jest taka sama, jak liczba przedmiotów podpadająca pod drugie pojęcie wtedy i tylko wtedy, gdy te pojęcia są równoliczne. Liczby zatem istnieją, ponieważ istnieje kryterium tożsamości liczb: kryterium równoliczności pojęć.

Równoliczność jest pojęciem będącym funkcją par pojęć. Jest zatem pojęciem drugiego rzędu. Liczbę można utożsamić z pojęciem równoliczności z określonym pojęciem. Na przykład liczbę 2 można utożsamić z pojęciem równoliczności z pojęciem „…jest dziurką w moim nosie”. Liczba naturalna jest zatem pojęciem drugiego rzędu. Arytmetyka redukuje się do logiki w tym sensie, że pojęcie liczby jest zdefiniowane za pomocą pojęcia pojęcia, przedmiotu jednej z dwóch podstawowych kategorii gramatycznych: predykatu. Resztę matematyki można, za pomocą konstrukcji odkrytych w XIX wieku, można zredukować do arytmetyki (geometrię za pomocą metody współrzędnych).

Podobny, jak Frege, pomysł na ugruntowanie matematyki miał Russell (Principles of Mathematics, 1903, Principia Mathematica, 1910-1911, wspólnie z Whiteheadem). Główne różnice polegają na tym, że

• Russell zamiast pojęciem pojęcia posługuje się pojęciem funkcji zdaniowej (propositional function), to jest funkcji, która  przedmiotom przypisuje zdania. Na przykład funkcja „x jest łysy” przypisuje Adamowi zdanie „Adam jest łysy”. Nie jest to różnica specjalnie istotna, jako że między predykatami a funkcjami zdaniowymi istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość.
• Russell rozpoznał paradoks, który podważa system Fregego. Sam, dla uniknięcia paradoksu, sformułował teorię typów, której aksjomaty wykluczają paradoks Russella (zob. http://adam-grobler.w.interia.pl/Paradoksy2.html)

Zbiorem spełniającym funkcję zdaniową (określonym przez funkcję zdaniową) nazywa się zbiór, którego elementami są wszystkie i tylko te przedmioty, dla których wartością funkcji jest zdanie prawdziwe. Teoria typów dopuszcza tylko takie funkcje zdaniowe, które określają zbiory złożone wyłącznie z indywiduów, i te zbiory nazywają się zbiorami typu pierwszego, zbiory typu drugiego, których elementami są wyłącznie zbiory typu pierwszego, itd. (Russell sformułował bardziej skomplikowaną, rozgałęzioną teoria typów, rozróżnia prócz typów jeszcze rzędy. Prosta teoria typów została sformułowana w 1921 przez polskiego filozofa, matematyka i teoretyka sztuki, Leona Chwistka, 1884-1944). Pojęcie liczby definiuje się za pomocą równoliczności funkcji zdaniowych lub zbiorów określonych przez funkcje. 

Tekst The principles of mathematics:
http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/text-
idx?c=umhistmath;cc=umhistmath;view=toc;idno=AAT1273.0001.001
Tekst Principia:
http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=AAT3201.0001.001
http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=AAT3201.0002.001
http://www.hti.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=AAT3201.0003.001